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Pero eso no era obvio. Tendrían que analizar un conjunto especial de funciones, llamadas sumas de Tipo I y Tipo II, para cada versión de su problema, y luego demostrar que las sumas eran equivalentes sin importar qué restricción usaran. Sólo entonces Green y Sawhney sabrían que podían sustituir números primos aproximados en su prueba sin perder información.
Pronto se dieron cuenta: podían demostrar que las sumas eran equivalentes utilizando una herramienta que cada uno de ellos había encontrado de forma independiente en trabajos anteriores. La herramienta, conocida como norma de Gowers, fue desarrollada décadas antes por el matemático Timothy Gowers para medir qué tan aleatoria o estructurada es una función o un conjunto de números. A primera vista, la norma de Gowers parecía pertenecer a un ámbito de las matemáticas completamente diferente. «Es casi imposible decir desde afuera que estas cosas están relacionadas», dijo Sawhney.
Pero utilizando un resultado histórico demostrado en 2018 por los matemáticos terence tao y Tamara ZieglerGreen y Sawhney encontraron una manera de establecer la conexión entre las normas de Gowers y las sumas de Tipo I y II. Esencialmente, necesitaban utilizar las normas de Gowers para demostrar que sus dos conjuntos de números primos (el conjunto construido con números primos aproximados y el conjunto construido con números primos reales) eran suficientemente similares.
Al final resultó que, Sawhney sabía cómo hacer esto. A principios de este año, para resolver un problema no relacionado, había desarrollado una técnica para comparar conjuntos utilizando las normas de Gowers. Para su sorpresa, la técnica fue lo suficientemente buena como para demostrar que los dos conjuntos tenían las mismas sumas de Tipo I y II.
Con esto en la mano, Green y Sawhney demostraron la conjetura de Friedlander e Iwaniec: hay infinitos números primos que pueden escribirse como pag2 + 4q2. Al final, pudieron ampliar su resultado para demostrar que hay infinitos números primos que también pertenecen a otros tipos de familias. El resultado marca un avance significativo en un tipo de problema donde el progreso suele ser muy raro.
Aún más importante, el trabajo demuestra que la norma de Gowers puede actuar como una herramienta poderosa en un nuevo ámbito. «Debido a que es tan nuevo, al menos en esta parte de la teoría de números, existe la posibilidad de hacer muchas otras cosas con él», dijo Friedlander. Los matemáticos ahora esperan ampliar aún más el alcance de la norma de Gowers: intentar utilizarla para resolver otros problemas de la teoría de números más allá de contar números primos.
«Es muy divertido para mí ver que cosas en las que pensé hace algún tiempo tienen nuevas aplicaciones inesperadas», dijo Ziegler. «Es como cuando un padre deja libre a su hijo y este crece y hace cosas misteriosas e inesperadas».
historia original reimpreso con permiso de Revista Quantauna publicación editorialmente independiente de la Fundación Simons cuya misión es mejorar la comprensión pública de la ciencia cubriendo los desarrollos y tendencias de la investigación en matemáticas y ciencias físicas y biológicas.
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